矩阵乘法作为科学计算、图形处理和机器学习领域的基础运算，其性能优化一直是计算机科学中的核心问题。尽管传统上依赖于经过高度优化的BLAS库完成矩阵乘法，但近年来越来越多的研究聚焦于本地语言自身实现高速矩阵乘法。在此背景下，BQN（一种极具表现力的阵列编程语言）成为探索高效矩阵乘法算法的理想平台。本文将深入分析在BQN中实现高速矩阵乘法的全过程，探讨如何通过缓存优化、分块算法、Strassen分治策略及消息传递接口（MPI）实现性能大幅提升。首先，为什么不直接调用成熟的BLAS库，而选择亲自编写矩阵乘法算法？答案在于追求更加纯粹的阵列编程理念。原生BQN缺少高性能的本地矩阵乘法实现，提供了创新的空间。
同时，封装现有的dgemm接口虽然可行，但无法充分发挥BQN语言的观念和特长。在BQN内部，使用类似于dgemm的FFI接口能达到与NumPy的dot函数相当的开销，但性能瓶颈依然明显。为突破这一限制，第一步便是改进缓存利用效率。传统矩阵乘法的性能受限于内存访问速度与缓存命中率。针对这一问题，采用基于方块划分的缓存阻塞技术（blocking）为有效手段。此方法将矩阵分割成若干较小的方块，利用局部性原理，使得每次操作的数据能够充分留存于高速缓存中，避免频繁访问主存引发的延迟。
仅通过从简单的加法乘法组合（+˝∘×⎉1‿∞）切换到使用拆分加加乘积操作（∾(+˝+˝∘×⎉1‿∞¨)⎉1‿∞），即实现了超过六倍的速度提升，尤其在处理超过CPU缓存容量的大型矩阵时表现卓越。更进一步，将缓存阻塞逻辑封装为通用功能，使得对任意大小方块的矩阵乘法皆可高效完成，同时能自动填充零以匹配块大小。这一点对于许多领域极为关键，比如图论中邻接矩阵的幂运算，或者马尔可夫链的状态转移矩阵分析。在实际应用中，针对不同硬件环境及矩阵规模，选取最优方块尺寸亦是一关键。例如，针对300至2700维的矩阵进行方块尺寸的盲测，发现8至11范围内的尺寸表现最佳，体现了硬件缓存层次结构与算法参数相结合的优化思路。虽然尝试多级嵌套拆分以适应多级缓存（nested tiling），实验结果表明性能提升有限，甚至略有退步，说明硬件特性和软件实现的复杂互动不容忽视。
缓存优化带来的性能提升终究有限，要突破算法复杂度瓶颈，分治思想成为下一个突破口。在此，采用经典的Strassen算法来降低矩阵乘法的时间复杂度。Strassen算法将大规模矩阵分割为四个子矩阵块，然后通过7次而非8次子矩阵乘法和加减法组合完成最终乘积，理论上时间复杂度由传统的O(n^3)下降至约O(n^2.81)。在BQN中，Strassen算法也需要与缓存阻塞技术相结合，以充分利用高速缓存，达成实用级别的加速效果。实验显示，当矩阵规模增大到4000维以上时，结合缓存阻塞的Strassen算法能带来接近9倍的速度提升，显著缩短计算时间。无论是缓存优化还是分治策略，单线程环境始终难以与多核高性能数值库竞争。
为实现接近裸机性能，BQN开发者引入了消息传递接口MPI的绑定，使得算法能够跨多个CPU核并行执行。MPI通过任务间的消息交换协调计算任务，实现类似SPMD（单程序多数据流）模式的高效并行性。在分布式环境下，经典的Cannon算法被用来实现并行的矩阵乘法。该算法将矩阵划分到二维处理器网格中，确保计算负载均匀且数据传输有序。利用MPI的发送接收操作，实现矩阵块的周期性轮转，从而优化通信和计算的重叠。值得注意的是，实现这一算法要求处理器数量为完全平方数，矩阵维度需按处理器网格大小适当填充。
成功应用MPI后的实验表明，性能提升达到31倍，与OpenBLAS原生dgemm函数的差距从之前的300倍缩小到仅8倍。尽管尚有改进空间，这一进展已经足够展现BQN在高性能数值计算领域的潜力。总的来看，纯BQN环境下，从简单矩阵乘法到缓存阻塞，再到Strassen分治，最后结合MPI并行实现，高性能矩阵运算框架得以成型。每一步都体现了对计算机体系结构深刻理解的积累，从数据局部性到算法复杂度优化，再到多核并行执行。未来，随着BQN语言自身性能的持续提升，及新型并行计算模式的支持，矩阵乘法性能有望更进一步逼近甚至超越传统数值库。在实际应用层面，这为依赖BQN语言进行大规模科学计算、机器学习模型训练以及图论分析等领域带来强大动力。
同时，也为阵列编程理念在高性能计算中的实践提供了宝贵经验。通过在BQN中实现这样一套贴近硬件特性的高效矩阵运算机制，开辟了纯阵列语言向数值计算高峰进发的可行路径。矩阵的世界复杂而绚丽，快速矩阵乘法的实现，正是深入理解并驾驭这一世界的基石。
