陶哲轩，素有“数学莫扎特”之称，是当代最具影响力的数学博士和菲尔兹奖获得者。他不仅在纯数学领域取得了里程碑式的成就，还积极投身于物理学难题的研究，并关注人工智能对数学研究方法的深刻变革。本文将深入剖析陶哲轩关于数学和物理中最困难问题的洞见，同时展望人工智能在推动科研边界上扮演的革命性角色。 数学界历来被认为充满挑战，尤其是那些处于“可解”与“无解”边缘的难题。陶哲轩指出，真正令人着迷的问题并非不可能完成，而是那些现有方法能够解决大部分，但仍缺少关键突破的难点。以几何学中的卡凯亚问题为例，其起源于1918年日本的一个关于最小面积转针的谜题，经过一个多世纪的深入研究才逐渐取得突破。
卡凯亚问题不仅是几何学的挑战，更因其与部分微分方程和波传导等领域紧密相关，反映了数学内部深邃的交叉联系。 在物理学领域，陶哲轩特别关注纳维-斯托克斯方程，这是描述流体动力学的核心方程之一。其深刻难题在于是否存在有限时间奇异点，即流体速度可以无限增大的情况。虽然在现实中我们未曾见过水体爆炸或速度超光速的现象，数学上仍无法排除这一可能性，且此问题是克雷数学研究所“千禧年大奖难题”之一。陶哲轩在此领域发表了对纳维-斯托克斯方程平均版本的有限时间爆破构造，创造性地运用“模拟电子电路”的思想设计非线性相互作用，展示了流体爆破潜在机制，为进一步研究指明了新方向。 陶哲轩介绍了他独特的数学思维方式——将复杂非线性现象拆解成分步突破的“分层攻关”策略。
他以香港动作片的打斗场景做类比，说明面对庞大困难时，集中力量逐一击破单个小难点，才能最终战胜整体难题。这种多面向、多维度的分析方法提高了解决超级临界问题的可能性。 在探讨数学与物理的异同之时，陶哲轩强调数学的本质是探索理论模型中各种假设的推论，而物理学则致力于通过实验观察检验模型的真实性。科学的发展正是两者相辅相成的过程，理论指引实验，实验反馈理论，使人类逐步接近对宇宙深入理解。 陶哲轩还分享了他对“现实本质”的见解，借用柏拉图洞穴的比喻描述人类认识世界的局限。现实、观察到的现象和我们建立的模型本质上是不同层次，但通过不断完善模型和扩大观测范围，人类科学认知才得以不断进步。
数学中“无穷”的概念虽然是抽象理想，但适当地将问题扭转为有限范围的“有限化”，反而帮助建立更直观且实用的理解。 关于数学的广泛联系，陶哲轩指出古今数学史中，不同分支间“桥梁”的构建极大推动了学科进展。过去几百年，几何与数论、代数与几何的逐步融合为新范式的出现奠定基础。他更倾向于“狐狸型”的多领域涉猎者角色，既有对多种数学领域的浅知，又善于寻找交叉领域的创新切入口。 在解决复杂数学问题的过程中，陶哲轩习惯运用大量的草图和符号助记法结合笔与纸的传统工具，辅以大量的反复推演与假设。他提出“战略性作弊”的概念，将难题简化、切割为更易解决的单元，再逐步合并破解，这是他高效产出的关键所在。
随着人工智能技术的发展，陶哲轩积极拥抱计算机辅助证明的新时代。以Lean这类形式化证明语言为例，其通过将传统数学证明转换为严格的计算机可验证代码，极大提升了数学论证的精确度和可复现性。虽然目前形式化证明仍需耗费大量时间与精力，但工具和AI辅助的持续进步，使得数学正式化正在进入规模化协作的阶段，未来有望改变整个数学科研生态。 针对人工智能在数学中的应用，陶哲轩指出现今AI还难以完全代替人类数学家的创造力，尤其是在识别何时策略失效、提出新猜想等复杂任务上。现阶段AI更像是“高级助手”，可以帮助搜索文献、提供辅助建议以及完成重复繁琐的计算工作。未来，他期待AI发展成为能够协同思考、提供灵感启发的共事者，而非单纯的执行工具。
谈及著名数学家佩雷尔曼和他解决庞加莱猜想的故事，陶哲轩深刻表达了对独立深耕理念的尊重。佩雷尔曼七年潜心钻研，并最终划时代地解决了三维空间拓扑的根本问题，彰显出数学研究中既需坚韧执着，又需对多领域知识酝酿深厚理解的重要性。 在数论领域，陶哲轩对素数的研究尤为深入。他解释了素数作为自然数“乘法原子”的核心地位，以及这些原子虽表现出随机特性，却蕴含难以破解的深层规律。尤其是孪生素数猜想的难点在于现有统计分析难以覆盖极少的异常结构，这让传统数学技术望尘莫及。他本人虽取得了重大突破，如Green-Tao定理证明了素数中存在任意长度的等差数列，但对于孪生素数等问题，还远未完全攻克。
关于碰撞猜想，陶哲轩以通俗易懂的语言描述了这条简单规则的迭代过程及其看似随机波动的原因。他用概率论方法证明了大部分数的轨迹会下降到较低数值范围，但是否所有数最终都会达到1依旧是悬而未决的难题。这反映出数学中概率与确定性之间的微妙界限。 至于计算复杂性中的P与NP问题，陶哲轩认为这是极具影响力的“元问题”。他认为现有研究倾向于“P不等于NP”，同时该问题的证明难度巨大，也很可能超出当前方法的范畴。但无论结果如何，问题的解决都将深刻影响密码学、算法设计和计算理论基础。
对于数学的未来，陶哲轩鼓励年轻学者积极拥抱跨领域知识，善于利用现代科技工具如人工智能辅助探索。同时，他强调个人风格和多样化思维不可或缺，数学并非单一思维模式的产业，而是一项集创造力、逻辑性与合作于一体的复杂文化活动。 展望未来，陶哲轩坚信人类借助数学和物理学的交融及AI技术的融合，将不断推动对自然规律的理解，揭示宇宙更深层次的奥秘。正如他所言，科学的发展既是建立在坚实的合作基础上，也是源于不断挑战自我的勇气与智慧的结晶。陶哲轩不仅以其深邃的理论洞见指引学术进程，更通过对新技术的开放心态塑造了科学研究的未来蓝图。
