能量守恒是物理学中的基石法则之一，在经典力学和特殊相对论的框架下，它为我们提供了稳定而直观的世界观。然而，当我们迈入爱因斯坦的广义相对论领域，这个简单明了的法则却变得异常复杂甚至难以定义。广义相对论描述的时空不再是平坦的舞台，而是动态变化的、带有曲率的几何体，这给能量的概念和守恒律带来了前所未有的挑战。首先必须明白，能量在不同理论框架中的定义并非一成不变。在牛顿力学中，能量通常只是一个标量数量，可以局部定义和守恒；在特殊相对论中，能量和动量合并成为四维矢量的时空分量，能量守恒也得以保持。然而，广义相对论中的情况截然不同。
这里的时空是曲率时空，物质和能量的分布决定了这个曲率，而反过来曲率又决定了物质的运动，这种交互极大地复杂了能量的局部定义。广义相对论中，能量不一定是一个局部可定义的标量。这一现象的核心在于，时空的曲率导致比较不同空间点的能量矢量变得非平凡。传统宏观物理中，我们常用的高斯定理——将体积分散度转换为边界积分——在平坦时空中完全适用，可据此证明整体能量守恒。然而，广义相对论所描述的曲率时空打破了这种等价关系，因为在曲率空间中，将能量流矢量平行移动到同一点进行比较时会产生路径依赖，无法简单相加。这导致在广义相对论中能量的积分守恒关系不再普适成立。
为了解决这一难题，物理学家提出了所谓的能量伪张量的概念。这些伪张量是一种特殊的数学工具，它们试图通过选定某种坐标系来描述重力场能量的分布。由于广义相对论崇尚所有坐标系统的等价性，伪张量不是严格意义上的张量，其定义和数值强烈依赖于参考系选择。伪张量具有奇异的性质，比如在某些坐标系下即使是空的平坦时空也表现出非零的“能量密度”，而通过某些巧妙的坐标变换，这些数值又可以被消除。这种非客观性使得伪张量在局域能量密度的定义上颇受争议，尽管它们在描述整个孤立系统的总能量时有一定实用价值。另一个令人困惑的议题是广义相对论的爱因斯坦场方程中只有物质和非引力场的能量动量张量出现在左边，而重力的能量似乎没有直接作为引力源。
这一问题一直被称为“引力能量是否产生引力”的哲学性和物理学困惑。爱因斯坦场方程的非线性性质显示引力波可以自我相互作用，从某种意义上体现了引力能量的引力效应，然而将引力能量明确纳入场方程仍是难以逾越的数学挑战。在一些特殊情况下，比如静态时空和渐近平坦时空，能量守恒的观念得到了较好的保留和严格定义。渐近平坦时空是指远离引力源后时空趋于平坦的一类模型，这使得全局能量和质量的定义成为可能，并且允许我们用如ADM能量和Bondi能量等数学定义对系统总能量进行准确测量。有关引力波的实验验证为广义相对论中的“能量传播”提供了重要证据。Hulse和Taylor通过对双脉冲星PSR1913+16系统的观测，发现它的轨道周期缓慢减小，精确符合广义相对论预测的引力波能量辐射损失。
这一发现不仅为能量守恒的广义相对论版本提供了强烈支持，也使他们荣获诺贝尔物理学奖。正当引力波携带能量变成事实时，宇宙膨胀背景下的能量守恒问题显得更为玄妙。宇宙微波背景辐射随时间被观测到的红移现象表明光子能量逐渐降低，这种能量“损失”在标准宇宙学模型中没有简单的回收机制。宇宙膨胀的非静态性使得传统能量守恒定律难以直接应用，有观点认为这部分消失的辐射能量变成了引力场的形式，但这种转化的定义同样依赖于选取的框架和角度。从数学角度来看，广义相对论中应对能量守恒问题的关键在于理解协变导数和协变散度的概念。不像在平坦空间时的普通偏导数，协变导数考虑了时空的曲率，保证了张量之间转换的几何不变性。
能量动量张量的协变散度为零表达了局部的能量动量守恒，但由于时空曲率导致在整体上的积分守恒缺陷，这种局部守恒并不必然等同于整体能量守恒。平行移动的路径依赖与时空的曲率密切相关。正如在球面上平行移动矢量时会因路径不同而得不同结果，广义相对论中也无法将能量定义为跨越大范围时空的绝对标量或独立于路径的量。这在一定程度上妨碍了建立类似牛顿经典理论那样完整和普适的能量守恒定律。爱因斯坦尝试通过选定惯用的坐标系实现能量伪张量的定义，这在物理学中是“以坐标系换取局部能量守恒”的折中办法。Dirac、Landau与Lifshitz、Weinberg等人随后提出了不同形式的能量伪张量，试图构建较为普遍和自洽的形式。
尽管如此，现代物理学家更倾向于使用总体而非局部的能量定义，特别是在处理如黑洞和宇宙大尺度结构等问题时。除了伪张量，近年来发展出的“准局域能量”概念提供了另一种视角，它试图定义一个包含一定时空区域内所有重力和物质能量的测量方案，但这一领域还处于活跃的研究阶段，尚无确定统一的定义。量子引力的“时间问题”与能量守恒亦有千丝万缕联系。在传统量子场论中，能量往往与时间的对称性联系紧密，而在广义相对论中，时间的定义因引力场波动而变得模糊，使得能量的守恒原则同时面临基础性挑战。现代物理正在努力寻找满足时空量子性质的全新能量和守恒规律。总之，广义相对论中的能量守恒不是一个简单的等式，而是贯穿时空几何和物质场相互作用的深刻体现。
它强调了物理学的根本哲学——物理量的定义离不开参照系和几何背景。理解并接受这种动态和相对的观点，是掌握引力理论内涵的关键。未来，随着理论和观测技术的不断进步，我们或许将逐步揭示能量在宇宙中最本质的守恒法则和表现形式。无论如何，广义相对论关于能量守恒的复杂性，激励着科学家们不断探索宇宙的本源与秩序，也让普通读者深刻领悟到宇宙的奇妙与宏大。
