Langley的附加角问题以其复杂性和难解性而著称，许多研究者曾试图通过几何构造或传统三角函数方法解答，但往往陷入计算繁复且缺乏严格证明的问题。本文旨在深入探索一种基于复数表示与域扩展的代数方法，既避免了传统的近似计算，也突破了“禁用三角函数”的规定，提供了一种系统且通用的解题路径。构建在复平面上的问题框架成为关键起点，通过将几何点用复数表示，所有点的位置和角度信息均转化为复数的运算，解决了图形转化的难题。特别是核心的复数t，代表一个10度的单位旋转，成为了整个计算的基础元素。通过构造以t为变量的多项式，逐步建立起各点之间的关系，所得到的坐标表达均是在域扩展内的多项式形式，避免了浮点数近似导致的误差。解决过程中关键的一点是找出t的最小多项式，即t满足的最低阶代数方程。
通过分析，发现t是多项式t的12次方减t的6次方加1的根，这种识别使得所有多项式计算均可模该最小多项式进行降阶处理，从而保证了运算中的多项式均可有限且高效地表达。此举不仅保证了代数表达的简洁，还提供了判断多项式等价性的有力工具，解决了复杂的辗转相除运算中多项式的反演问题。值得强调的是，除加减乘外，求逆（除法）运算也被巧妙地处理。利用复数的代数性质，通过计算目标多项式在除t本身外其他各根上的值并乘积，结合最小多项式的根的性质，成功获得了多项式反演，实现了完整的多项式域内除法。这种技巧是经典复数除法扩展到更高次域的自然推广，亦具备广泛应用潜力。复数共轭的处理也被自然地集成：基于t的共轭即为t的-1次幂，转化为多项式对t^-1的评估后降阶完成。
应用这些代数技巧后，所有复杂的角度计算都被包裹在多项式运算中，最终得出的问题关键值q呈现为t的6次幂，即对应于复数的60度旋转。而由于q的幅角是目标角度的两倍，其对应的目标角度θ精确且唯一地为30度。该精确结果完美证明了几何上的推测，且没有任何计算近似。更进一步，尝试将该方法应用于其他起始角不那么“整齐”的变形问题，虽然最终表达的q不再简洁单项式表现，但仍是域扩展内的多项式。此时，通过数值转换得到的角度虽然不可简化为整度数，但依然是精确表达的角度估计，体现了域扩展计算的准确性与稳定性。这种方法不仅赋予了Langley问题以严谨解答，也展示了抽象代数在古典几何中的魅力与实用价值。
综合来看，借助复数域扩展与多项式域内代数运算的结合，成功实现了Langley问题的全代数精准解，超越了传统图形构造和三角函数方法的限制。此举不仅深化了对几何问题代数结构的理解，也为其他类似存在复杂根式或角度计算的几何题目提供了可复用的解决方案。随着计算机代数系统的发展，这种方法有望成为古典几何难题分析与求解的新常态，推动数学教育和理论研究的双重进步。
