近二十年前，著名数学家特伦斯·陶（Terence Tao）出版了他的数学分析教材《Analysis I》。这本书以扎实的基础建设、对自然数、有理数、整数和实数系统的系统构造为核心，深入探讨了集合论与逻辑学知识，旨在帮助学生掌握更严谨的数学证明技巧。然而，当时，虽然Coq、Agda等辅助证明工具已经存在，但陶教授并未将形式化验证作为这本教材的设计方向。时至今日，形式化证明技术，尤其是 Lean 证明助手的发展，为传统数学分析教材注入了全新的生命力。陶教授决定推出《Analysis I》的Lean伴侣项目，将教材中的定义、定理和练习转译为Lean证明代码，开辟了一条结合传统数学与现代计算机辅助证明的创新路径。 Lean作为一款依赖类型理论的证明助手，具有强大的表达能力，尤其是在处理商类型等复杂结构时表现突出。
陶教授在《Analysis I》中运用的“朴素类型论”与Lean的依赖类型理论有天然的契合度，因此将该教材与Lean结合，不仅实现了内容的形式化验证，还使学习者能够通过亲自填写Lean代码中的“sorries”来完成练习，有效提升数学严谨性与编程能力的培养。 该项目现阶段已完成对教材多章节的翻译，包括自然数及其加法、乘法的构造，基础集合论，整数的定义等内容。值得一提的是，Lean的数学库Mathlib中已经内置标准自然数结构。陶教授在伴侣中先从零开始“手工”构造了一个替代的自然数系统，并通过练习形式让用户自行证明其与Mathlib中自然数的同构关系。此后，教材伴侣逐渐弃用自建结构，转而依赖Mathlib标准定义，形成了递进式的数学库整合思路。这样的设计不仅增强了教材的实用性，也为初学者提供了Lean入门与数学分析学习的双重契机。
在形式化项目设计上，陶教授采取了保持原书内容纯正的策略，不打算发布官方的练习答案，而是鼓励社区成员基于仓库进行分叉和补充。此外，项目的开源许可为用户自由贡献拓展内容和解决方案提供了便利，促进了学术与编程爱好者之间的协作与共享。项目目前已迁移至独立的代码仓库，便于维护和推广。 从教学和学习的角度看，《Analysis I》Lean伴侣兼具了数学严谨与计算机科学的实用知识，既提升了对数学分析概念的深刻理解，也让学生掌握了Lean的证明技巧。例如，对存在唯一性命题的证明、量化符号的处理以及依赖类型的应用，都在练习中得到体现和强化。陶教授表示，虽然部分练习难度较高，但社区的反馈和测试对于进一步优化伴侣非常关键，特别是在理解决策策略和完善辅助引理方面。
形式化证明技术在数学界的影响日益深远。通过项目，传统数学家和计算机科学家能够通力合作，实现概念、定理和证明的精确表达，减少人为错误，增强数学知识的可靠传承。对于《Analysis I》而言，Lean伴侣不仅是工具的“翻译”，更是内容的“升华”。它使教材内容能够被人工智能和自动推理系统所理解与利用，开启了数学研究与教育的新篇章。 此外，该伴侣项目也引发了关于形式化证明系统可靠性及其局限性的讨论。例如，一些学习者和评论者提出了对Lean证明助手本身编译器和解释器正确性的疑问。
然而，正如陶教授和其他专家所述，通过交叉检验、对比不同形式系统的证明成果，可以定位错误与差异，促进整体证明环境的完善。尽管理论上存在“图灵庙”的状况，即对基础设施的绝对正确性的难以证实，实际应用中Lean凭借其广泛社区和持续维护，已经成为可信赖的数学证明工具。 随着伴侣的推进，未来计划涵盖更多《Analysis I》内容，包括数列、级数、连续性、微分和积分等章节，从而构建一个全面的数学分析形式化学习体系。同时，陶教授考虑将基础逻辑和数学语言基础作为附录形式正式纳入，帮助初学者在掌握Lean之前建立坚实的逻辑思维基础。这样，Lean伴侣不仅满足专业研究者的需求，也兼顾教育功能，助力大学课程和自学者深度理解分析学科。 《Analysis I》Lean伴侣项目的发布正值数学与计算机科学交叉融合的热潮。
它不仅继承了陶教授对数学教育的严谨态度，也展现了现代技术对数学学习方式的革新力量。通过该项目，学习者能够切身体会数学分析的精髓，同时获得现代证明技术的实践经验，使学术研究和教学活动达到新的高度。展望未来，伴侣的开源性质和社区共建模式必将推动更多数学教材走向形式化，助力数学进入一个更开放、更严密、更智能的新时代。
