费马大定理作为数论领域最著名的难题之一，自17世纪末由皮埃尔·德·费马提出命题以来，吸引了无数学者的研究兴趣。该定理声称，当整数n大于2时，方程xⁿ + yⁿ = zⁿ无正整数解。经过数百年的攻关，1994年安德鲁·怀尔斯最终证明了费马大定理的普遍性。虽然这一证明标志着数学史上的里程碑，但在计算机辅助证明和形式化证明领域，对其分支情况的全面验证和自动化证明则是近期研究的重点。正是在这一背景下，使用Lean4证明助手完成正规素数情形的费马大定理形式化工作变得极具学术价值和实践意义。 正规素数是数论中一个重要概念，它起源于数学家恩斯特·库默对费马大定理的研究。
库默发现，对于满足一定除数性质的素数，即所谓正规素数，费马大定理的证明可以借助理想类群和代数数论的工具得到简化。近年来，借助自动化定理证明工具，研究人员尝试将库默的证明过程和相关引理进行形式化。Lean4作为一种强大的交互式定理证明环境，通过其灵活的语言设计和高效的库支持，使得形式化此类复杂数学问题成为可能。 在Lean4中完成正规素数情形的费马大定理证明，首先需要全面构建代数数论基础。这包括对环论、模形式、数域扩张及理想理论的形式定义和性质证明。特别是理想类群的定义以及对其结构的探讨，为后续的引理和主定理提供了理论支撑。
此过程不仅复现了数学领域多年积累的研究成果，也保证了所有证明细节的严谨性和无歧义性。 库默引理作为正规素数情形证明的核心障碍之一，其形式化过程备受关注。传统的库默引理证明往往依赖于类域论的现代工具，然而在Lean4中，研究团队选择采用希尔伯特90至94定理的经典方法来证明库默引理。这一策略不仅使证明过程更贴近Lean4的逻辑环境，也大大降低了对复杂工具链的依赖度，提升了证明的可读性和机器可处理性。 具体而言，希尔伯特的几个定理提供了关于伽罗瓦协变和共变群的细致结构信息，这些信息在构造理想类群的映射和证明同构性质时至关重要。通过严密构建这些映射并验证其性质，研究人员成功地解决了正规素数情形中的关键数学障碍，使费马大定理的特定情形在Lean4体系中得到全面展现。
该项目中一个显著的贡献是对证明过程的模块化组织。研究团队将数学证明分解成多个子模块，每个模块专注于特定的数学结构或引理，方便后续维护和扩展。此举不仅提升了证明的清晰度，也促进了自动推理机制的优化，提高了反复验证的效率。此外，该架构为未来将其他定理或者更广泛的数学命题迁移至Lean4奠定了基础。 形式化证明的实质意义远超简单的定理验证。它促进了数学语言的标准化，加强了构建数学知识库的可能性，推动了人工智能与数学研究的融合。
通过在Lean4中实现费马大定理正规素数情形的完整形式化，彰显出人工智能辅助下数学创新的新趋势，同时也为教育领域提供了现代化的教学范例，推动了数学思维与计算思维的深度融合。 值得一提的是，相关成果已公开发布于国际知名预印本平台arXiv，论文详实地描述了从基本定义至关键引理，再到主定理证明的整个过程。此外，公开的代码库也为广大研究者和爱好者提供了宝贵资源，便于审阅、复现甚至参与贡献。如此开放透明的科研态度，有助于加速全球数理逻辑和计算机辅助证明领域的交流与发展。 结合目前形式化数学的最新技术，Lean4因其直观的语法、强大的类型系统与持续完善的库资源，成为诸多复杂数学问题形式化的首选工具。费马大定理正规素数情形的完整形式化，极大地验证了Lean4的适用性和扩展潜力，也为未来在更大范围内推动数学理论的计算机辅助发展树立了标杆。
在未来，随着硬件性能的提升与算法的优化，更多具挑战性的数学定理将被逐步形式化。自动证明系统的普及和应用将极大推动数学研究的规范化和自动化水平，为解决未解难题和培养新一代数学人才提供强劲动力。由此可见，费马大定理正规素数情形的形式化不仅是一个独立里程碑，更是现代数学与信息科学融合发展的象征。 总结来看，借助Lean4证明助手完成费马大定理正规素数情形的完整形式化，代表了计算机辅助数学进入新的高度。从严格定义数学结构到精细证明经典难题，研究团队精心构建了一个可复用、高效且严谨的形式化框架。这不仅推动了数学定理证明的自动化进程，也拓展了形式化方法在数学研究中的应用边界。
预计随着该领域的不断发展，我们将见证更多经典数学难题被数字化、标准化并最终获得前所未有的理解与解决。
