在数据拟合与建模中,一个常见问题是从有限的观测点确定简单的参数化函数。本文关注的目标函数为 a + b·e^{c x},即常数项加上一个指数项。若只给定三个点 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),且 x1 < x2 < x3,希望精确求出 a、b、c 三个参数,使函数在这三点上严格通过。这个问题看似三个未知数配三个方程的典型问题,但直接求解会遇到数值不稳定与非线性方程求解的挑战。通过适当的代数消元,可将非线性问题降为只需要在一个变量上求根的单变量方程,从而实现更稳定和高效的数值解法。 问题陈述如下。
设观测点满足 x1 < x2 < x3,且为便于讨论假定 y1 < y2 < y3(向上单调的情形,若不是单调或 b 的符号不同,后续公式仍可推广但需注意符号和数值范围)。目标是求 a、b、c 使得对于 i=1,2,3,有 yi = a + b·e^{c·xi}。写出三条方程后,首先可以通过两两相减消去 a: y2 - y1 = b (e^{c x2} - e^{c x1}) y3 - y1 = b (e^{c x3} - e^{c x1}) 对上面两式相除可以消去 b,得到关于 c 的方程: (y2 - y1)/(y3 - y1) = (e^{c x2} - e^{c x1})/(e^{c x3} - e^{c x1}). 为了使表达更紧凑,令 d2 = x2 - x1,d3 = x3 - x1,并令 L = (y2 - y1)/(y3 - y1),则右侧可以因子化出 e^{c x1},得到等价形式: L = (1 - e^{c d2})/(1 - e^{c d3}). 目标即是求满足上述方程的 c。注意 L 在 (0,1) 之间(前提是 y1 < y2 < y3),而函数 f(c) = (1 - e^{c d2})/(1 - e^{c d3}) 在 c 从 -∞ 到 +∞ 时单调变化,从 1 下降到 0(如果 d3 > d2)。因此对于 L 属于 (0,1) 的情形,方程通常存在唯一解。将方程重写为 g(c) = L - f(c) = 0,便可采用一维根查找方法求解 c。
推导过程中要注意若 c 非常接近零、极大或极小时的数值稳定性。c→0 时,使用泰勒展开可得 f(c) ≈ d2/d3,因此若 L 接近 d2/d3,c 会接近 0。这种情况下直接用 e^{c d} 计算会造成在分子分母中相减引发精度损失,推荐使用 expm1(z) = e^{z} - 1 的数值函数以提高精度。对于 c 很大或很小的情形,指数可能溢出或下溢,同样需要使用对数变换和指数差的替代表达式来避免数值问题。 在获得 c 的数值解后,b 和 a 可通过简单代回求得: b = (y2 - y1)/(e^{c x2} - e^{c x1}) a = y1 - b·e^{c x1}。 如果 c 非常接近 0,直接按上述公式计算将导致分母非常小而不稳定。
在此情形下可以将模型视为线性近似 a + b·(1 + c x + ...),或利用极限形式将参数用更稳定的表达式计算。例如当 |c| 很小时,用 e^{c x2} - e^{c x1} ≈ c·e^{c·mid}·(x2 - x1),其中 mid 可取 (x1+x2)/2,用 expm1(c·d) 代替直接相减会更稳定。 数值求根的选择对效率与稳定性影响很大。因为 g(c) 为单变量连续函数并且通常单调(严格单调当 d3 > d2 且 d2, d3 非零时成立),可以选用二分法或 Brent 方法(brentq)保证收敛和鲁棒性。若希望更快速的局部收敛,牛顿法(Newton)可以作为备选,但需要良好的初始值并且要能计算 g 的导数或用数值差分近似导数,同时要处理牛顿下降到无效区间或发散的风险。实际工程中常用的策略是先用 brentq 在一个宽的区间内找到根或缩小根所在区间,然后用牛顿法加速收敛。
为了方便实际应用,下面给出一个稳健的 Python 实现思路,使用 numpy 和 scipy 的数值函数。实现要点包括使用 math.expm1 或 numpy.expm1 来计算 e^{z} - 1,避免直接相减带来的精度损失;用 brentq 或 brenth 做区间搜索确保找到根;对极端数值使用对数形式或特殊情况处理。示例代码如下(代码以纯文本形式给出,可直接拷贝到脚本中运行): from math import exp, expm1 from scipy.optimize import brentq def fit_three_points(x1, x2, x3, y1, y2, y3): assert x1 < x2 < x3, 'x 必须严格递增' # 这里假定 y1 < y2 < y3 保证 L 在 (0,1),若不是单调需要额外考虑符号 d2 = x2 - x1 d3 = x3 - x1 L = (y2 - y1) / (y3 - y1) # 定义 f(c) = (1 - e^{c d2})/(1 - e^{c d3}),求 g(c) = L - f(c) = 0 def f_of_c(c): # 为了提高数值稳定性,优先使用 expm1 num = -expm1(c * d2) # 1 - e^{c d2} = - (e^{c d2} - 1) den = -expm1(c * d3) # 若 den 接近零,需要处理 if den == 0: # c 接近 0 的极限情况,返回 L - d2/d3 return L - (d2 / d3) return L - (num / den) # 在 c 轴上寻找区间。f(c) 在 c->-inf 趋向 1,在 c->+inf 趋向 0 # 因此 g(c) = L - f(c) 在 c->-inf 为 L - 1 <= 0,在 c->+inf 为 L >=0 # 若 L 在 (0,1) 则根必存在 left, right = -50.0, 50.0 c = brentq(lambda z: f_of_c(z), left, right) # 得到 c 后计算 b 和 a ex1 = exp(c * x1) ex2 = exp(c * x2) b = (y2 - y1) / (ex2 - ex1) a = y1 - b * ex1 return a, b, c 上面代码展示了核心思路,但在工业级应用中建议增加输入验证、异常处理以及对 y 值不单调或 b 为负的情形进行更细致的逻辑判断。还可以在 brentq 搜索前评估端点符号,或动态扩大搜索区间以应对极端 c 值。在实际运行时,若数据含有测量噪声或并非严格由 a + b·e^{c x} 产生,单独三点拟合仍有价值:一方面可以作为非线性最小二乘拟合的良好初始猜测;另一方面用于快速估计参数的量级和符号。
下面通过具体数值例子帮助理解。以 John D. Cook 博客中的示例 (x1, x2, x3) = (9, 25, 28) 和 (y1, y2, y3) = (42, 55, 92) 为例,代入上述程序可得到一组参数并检验拟合精度。计算结果会显示在给定三点上模型精确通过,并可用于对其它 x 值进行外推或插值。需要注意外推时指数项对输入微小变化的敏感性,尤其当 |c| 较大时,误差会被放大。 对边界和异常情形的讨论同样重要。若 y2 - y1 与 y3 - y1 的比 L 等于 d2/d3,则 c = 0 是方程的解。
这意味着观察数据可以由模型 a + b·e^{0·x} = a + b·1 给出,即函数恒为常数 a + b,而三点的 y 值在数学上不能三点不同但仍满足该模型,除非 b = 0。在数值计算中会遇到除以零或极小量的情形,应当识别这种极限并用线性近似进行处理。若 y 的单调性被打破(例如 y1 < y2 > y3),原始方程可能仍有解但 b 的符号或 c 的符号会发生变化,此时需要对 L 的定义与根搜索的区间做相应调整。 对于带噪声的拟合情形,通常不再寻求精确穿过所有点,而是用非线性最小二乘拟合来最小化残差平方和。即便如此,从任意三点中快速计算得到的 a、b、c 仍然极有价值:它们可以作为最小二乘求解器(如 scipy.optimize.curve_fit 或 least_squares)的初始猜测,加速收敛并提高找到全局最优解的概率。若数据量较大,应优先对数据做预处理,包括去除异常值、按 x 排序并挑选代表性的三点来生成初始猜测。
总结可得以下关键要点。通过代数消元可以把三点拟合 a + b·e^{c x} 的问题归结为单变量方程求根,从而将非线性三元问题简化为一维数值求解。求解过程中需重视数值稳定性,优先使用 expm1 等数值工具,选择鲁棒的根查找算法如 brentq,必要时再用牛顿法加速收敛。求得 c 后可按封闭表达式回代求出 b 和 a。该方法不仅能精确通过三点,还能为更复杂或带噪声的指数拟合问题提供高质量的初始参数估计。 若需要将该方法推广到更多指数项或更复杂模型(例如 a + b·e^{c x} + d·e^{e x}),解析消元将变得更为困难或不可行,这时通常采用数值最优化方法直接拟合,但相同的数值稳定性原则仍然适用:合理的初始猜测、避免在计算中直接做不稳定的差值、以及选择合适的优化算法都是成功的关键。
对于工程实践者和数据分析师而言,掌握三点解析拟合方法既能提高理解深度,又能在实际建模中显著提升效率与鲁棒性。 。
