在计算机走向电子化之前,人类用金属、齿轮和严谨的数学思维解决了看似简单却极具挑战的计算问题。计算机史前史的第二章,把视角放在机械计算器的成熟期与理论基础的形成上,讲述从帕斯卡和莱布尼茨的早期尝试,到切比雪夫与雷梅兹对多项式近似的理论贡献,再到查尔斯·巴贝奇的差分机构想如何将数学思想转化为自动化装置。 17世纪的帕斯卡(Blaise Pascal)发明了人类史上首批实用机械加减器,被称为帕斯卡计算器或帕斯卡镒盘。看似简单的加法之所以困难,真正的核心在于进位机制。把一列数字逐位相加并正确将进位传播到更高一位,是机械与电子计算设计里反复出现的基本问题。直到现代,芯片设计师仍需在简单的串行进位加法器与复杂的超前进位结构之间权衡,帕斯卡的工作正是对这一问题的早期机械化尝试。
更宏大的构想来自莱布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz)。他不仅在哲学与数学上卓有建树,还发明了能进行加减乘除的阶梯鼓式计算机,世人称为"莱布尼茨轮"或"阶梯盘"。莱布尼茨轮通过一个可滑动的齿轮机构,将转动次数与齿数的位置配合起来,从而实现乘法的累加效果;每次齿轮满周转都会触发进位,这为多位数相乘与连锁进位的机械实现提供了结构性的答案。尽管莱布尼茨一生致力于完善该装置,受限于当时的制造精度,他的原型难以长期、稳定地运行,但他的设计思想对后世机械计算器产生了长远影响。 进入工业革命以后,精密加工技术的进步将莱布尼茨的概念推向实用化。19世纪中后期,基于莱布尼茨轮改良的阿里斯多摩计(arithmometer)成为首款商业上成功的机械计算器。
制造技术的提升使得齿轮配合、轴承精度与材料稳定性都上了一个台阶,机械计算器才真正开始在科学、工程与商务领域推广。由此可见,概念与工艺往往需要同时成熟,才能催生可普及的计算工具。 除了机械实现之外,莱布尼茨另一个值得重视的遗产是对形式语言与符号化思维的探索。年轻时他提出的"组合艺术"与"普遍表征"(Characteristica universalis)设想,试图把概念编码为符号并进行代数化操作,将逻辑论证机械化或算法化。在今日看来,这些早期思想正是现代形式逻辑、可证明性与程序语言语义的祖先。弗雷格、罗素、哥德尔等后来者在形式化数学与计算理论路径上的工作,都能在某种程度上溯源到莱布尼茨的符号化愿景。
在数学方面,理解多项式及其高效评估的理论,对机械计算器与早期自动化表格生成尤为关键。19世纪的俄国数学家切比雪夫(Pafnuty Chebyshev)在逼近理论方面的工作,直接影响了后来如何用低阶多项式逼近复杂函数。切比雪夫发现,可以构造使最大误差最小化的多项式逼近,从而在有限区间内获得均匀误差界。这一思想为数值方法提供了理论保障:如果希望在一段区间内以最小的最大误差近似函数,多项式逼近是极为有效的工具。 切比雪夫的存在性结果启发了后来的实用算法。雷梅兹(Remez)在20世纪给出了可构造的算法,用相对少量的函数评估就能求出近似多项式的系数。
现代数学库中常用的函数实现往往采用分段多项式逼近,系数经由类似雷梅兹的方法确定,以保证在目标区间内误差受控。许多三角、对数、指数等函数的高性能实现依赖此类思路,再加上分段处理与有理函数逼近(如帕德近似),可以在浮点数精度要求下实现快速且准确的计算。 帕德近似(Padé approximant)将函数表示为两个多项式的比值,这在处理有奇点或发散行为的函数时,常比纯多项式逼近更稳定。对计算器或早期自动表格生成而言,重点不在于求解析解,而在于通过有限运算得到足够精确的数值结果。多项式与有理函数逼近结合的思路,正契合当时人们希望用机械装置高效生成数学表格的需求。 查尔斯·巴贝奇(Charles Babbage)敏锐地抓住了有限差分方法与多项式逼近之间的关系。
他设想的差分机,目的在于自动计算并打印函数表格,避免人手计算带来的错误。有限差分法的关键在于:对等距点上的多项式,其高阶差分会在固定阶数后变为常数。这样,只需保存若干个初始差分值,后续的表项即可通过一系列简单的加法获得。把差分表的"右向累加"过程机械化,就能让机器连续生成高精度的函数值。 差分机的思想既优雅又实用。对于多项式或可以用多项式在小区间内近似的函数,差分机能用相对简单的机械部件完成连串加法与进位操作。
尽管巴贝奇的差分机原型在当时未能完全建成,部分原因依然是制造与资金的限制,但他的构想已经清楚地把数学方法转化为可实现的工程蓝图。更重要的是,差分机的设计理念奠定了后来可编程机器的思想基础。 巴贝奇在差分机之后又提出了更为宏大的解析机(Analytical Engine)构想,包含条件分支、循环与可编程存储的概念。艾达·洛夫莱斯(Ada Lovelace)为解析机撰写的注解常被视为世界上第一份程序 - - 一个针对机框架的算法描述。虽然解析机并未在巴贝奇时代完成,但它的理念与现代计算机的基本结构惊人地接近,显示出机械与逻辑思想如何合力推动计算文明的进步。 从机械计算器的发展我们还能看到工具如何增强人类认知的基本主题。
智能放大(Intelligence Amplification)与"延展心智"理论强调外部工具与符号系统如何扩展人类记忆与推理能力。计算器、差分机、表格与纸笔,这些都是把思考以外的重复劳动外包出去的手段,使得人们可以把更多精力投入到抽象设计、理论洞见与创造性工作上。 19至20世纪的转折并非只是一场机械到电子的替代,而是一次基础生产力与理论模型的跃迁。霍勒里斯(Herman Hollerith)的打孔卡(punch card)技术与自动化统计处理,将机械计数与工业规模数据汇总结合起来,直接催生了后来的大规模数据处理与商用计算设备。与此同时,图灵、冯·诺伊曼、哥德尔、丘奇等人的理论工作,建立了可计算性、算法与存储程序概念的数学框架,为电子计算机的架构设计提供了思想武器。 到了半导体、CMOS 与光刻技术成熟以后,电子计算的速度、成本与可靠性都远超机械方案。
今天的一台个人电脑在速度上与巴贝奇的任何机械设想相差数十万乃至数百万倍,制造成本也低得多。然而,很多早期的思想在今天仍然可见:进位问题仍在数字电路设计中被精心处理;多项式与有理函数逼近仍然是数学库实现的主干;有限差分与插值思想仍出现在数值仿真与数值解法中。 回望那段用金属、齿轮和纸张书写的历史,我们能从中学到两点重要教训。第一,抽象的数学思路往往需要与制造工艺并进,才能转化为可用的工具。莱布尼茨的构想在他生前未获成功,部分原因在于当时的加工精度不足以支撑复杂齿轮机构;当制造水平跟上后,类似结构便能大规模应用。第二,形式化与自动化的愿景非常早就存在:人类从很早便在思考如何把思想外化为可操作的符号和机械流程。
无论是莱布尼茨对"普遍表征"的追求,还是巴贝奇对自动表格的工程化努力,都是把抽象推向实践的范例。 如今我们用几行代码调用数学库函数,却很少想到这些函数背后藏着数百年的思想累积。每一次函数调用、每一个硬件进位电路、每一段精心选取的多项式系数,都是历史的回声。了解计算机史前史,不只是怀古,更是理解为什么今天的工具能如此强大,以及未来在哪些方向还值得继续创新。 当我们把视线从蒸汽与齿轮转向光刻与硅晶体管时,不应忘记那些早期的发明家和思想家。他们用有限的材料与近似的方法,铺就了使人类智力扩展的道路。
正如古希腊的杠杆名言所示,给了人们一个足够长的杠杆,世界就可能被移动;而计算机,恰是放大思维的长杠杆。未来会被我们用它移动到何处,仍然由现在的思考与实践决定。 。
