随着人工智能和大数据的迅猛发展,高维优化成为研究和实践中的热点主题。许多人认为高维空间的优化问题相较于低维空间更容易解决,主要基于数学理论中对随机函数的统计特性的研究。然而,经验和实际案例表明,这样的观点存在一定的偏差,高维优化依然是一个异常复杂和具有挑战性的任务。现代优化问题不仅仅涉及数学上的多维参数,更包含结构复杂、因素众多且相互作用强烈的现实问题。这促使研究者不断探寻新思路,力图在理论与实践间找到平衡点。高维优化问题的核心困境之一在于它的解空间极其庞大且复杂。
虽然从概率论角度出发,在极高维空间中局部极小点的概率似乎会迅速降低,但实际优化过程并非仅仅对概率事件的统计进行利用。优化算法很容易陷入梯度极小但非全局极小的区域,即所谓的鞍点或者平坦区,这些"假停点"常常导致算法早早终止,无法找到优质解。这现象在深度神经网络训练中尤为明显,训练过程尽管理论上是无数参数的函数优化,但却经常受制于局部结构的影响,表现出复杂且难以预测的行为。此外,高维优化中的变量往往彼此关联,独立性假设难以成立。实际问题中的多个约束条件可能相互影响,导致优化路径被分割成多个相互隔离的区域,令优化算法难以跳出局部空间并全局搜索。这种现象犹如一座座无法逾越的高墙,将解空间分割成多个"深谷",迫使优化过程受限于初始条件和局部结构,从而难以达到全局最优。
具体到工业场景,例如规划和调度问题,优化目标往往包含复杂的物理与逻辑约束。以火车到达时间排程为例,如果要确保列车安排既满足预计时间又规避轨道冲突,就必须在时间和空间上实现精细协调。模型中的斥力项模拟了列车在时间上的相互排斥,防止列车拥挤,但这也带来了高度非凸的目标函数,令优化更加困难。传统基于梯度的算法在这里面临巨大挑战,因为微小步长无法改变列车顺序,必须借助更复杂手段如大步长跳跃、退火算法或随机扰动。此类问题中,求解空间被分割成n!个不可通达的"子谷",优化算法容易陷入局部最优,除非有特别的启发式策略或多次随机重启。更有趣的是,该排程优化问题可以被物理系统所对应,类似带电小球在斜槽上的排布,斥力和重力共同构建了目标函数的势能面,这种类比不仅使问题具备物理意义,还表明复杂优化问题本质上与现实物理系统存在共通点。
优化器停止工作的常见原因不仅仅是局部极小,而是梯度范数下降至极低,这通常意味着当前点处于一个近似平坦区域,算法难以找到足够驱动力继续前进。高维空间的平坦区和鞍点数量庞大,进一步增加了优化的难度。近年来,有学者通过超曲率几何、遍历理论以及渗流理论尝试从全局结构角度阐释高维优化问题。然而,这些理论往往依赖一系列强假设,如层面集合的连通性或渗流性,这在许多带约束且具有复杂结构的实际问题中难以成立。问题的全球结构往往因对称性、约束耦合或其他组合性质导致优化路径被分割,优化过程难以像理论中描述那样充分探索整个空间。面对高维优化的挑战,实践中常采用"分阶段"优化策略。
例如先关闭或弱化对问题结构影响最大的项,完成初步优化后再逐渐引入这些影响因素进行精调。这类似于在物理中约束逐步释放,让系统逐渐找到稳定状态,有效避免过早陷入复杂区域。总结来看,高维优化的困难源自其复杂的非凸结构、变量间依赖关系、多重约束以及全局环境的分割效应。优化器不仅要面对无数局部极小和鞍点,还要应对因初始位置受限而难以跳转至其他区域的问题。尽管高维概率性质为我们提供了部分"解难"线索,但实际应用中问题的结构决定了难度的本质。深度学习虽在实际中通过大规模随机梯度下降+先验配置取得成功,工业界问题则需要更多针对结构的理解与定制策略。
未来,高维优化的研究将持续结合理论与实践,注重发现和利用问题结构,开发更智能的算法和启发式方法。物理类比、分阶段优化、混合启发式等方法或能为解决高维非凸优化带来突破。理解高维优化依然艰难,能有效引导研究者和工程师合理制定期望,合理设计优化流程,从而推动科学与工程领域的发展和应用。 。
