在现代机器人定位与地图构建领域,基于视觉的同步定位与地图构建(SLAM)技术发挥着重要作用。SLAM中,准确估计相机或传感器的位姿是实现高精度环境重构的关键。位姿通常表达为SE(3)群元素,包括旋转和平移两部分。而旋转部分则专属于SO(3)群。在实际求解过程中,SE(3)对旋转的求导行为与SO(3)的求导存在细微异同,深入理解这些差异不仅有助于理论深入,也为算法设计和优化提供坚实基础。 首先,明确SE(3)和SO(3)的基本定义是理解差异的前提。
SO(3)表示三维空间中的旋转群,即所有3×3正交矩阵且行列式为1的集合。它是一个非线性流形,描述纯旋转。而SE(3)则是三维欧式运动群,是SO(3)与三维平移的半直积,全面描述三维空间中的刚体变换。换句话说,SE(3)表示物体在空间中的完整位姿,包括旋转的方向和位置的变换。 在SLAM过程中,位姿的估计往往依赖于优化问题的求解,这通常涉及Jacobian矩阵的计算,而Jacobian矩阵根源于对相关参数的求导。对于纯旋转部分,SO(3)的切空间和李代数结构为求导提供了天然框架。
SO(3)的李代数是so(3),对应于反对称矩阵,可以用三维向量表达旋转的无穷小扰动。利用李群与李代数的指数映射和对数映射,旋转的微小变化能被有效线性化。 然而,当涉及SE(3)群时,由于其包含旋转与平移,整体结构更复杂。SE(3)的李代数 se(3)同时包含了旋转部分的so(3)和平移部分的向量空间。对SE(3)元素求导,特别是涉及旋转部分时,必须充分考虑平移和旋转的耦合关系。具体而言,在SE(3)的求导中,平移部分的变化会影响旋转参数的递推和表达。
此外,SE(3)李代数的非交换性质导致其指数映射更为复杂,旋转和位移的变化不能简单相加而是需要乘积映射来表示。 这种结构上的复杂性决定了SE(3)对旋转求导不同于SO(3)。在SO(3)中,旋转的微小扰动可直接通过李代数映射表达求导关系,求导过程相对单一。而在SE(3)中,求导时需要考虑旋转扰动对整体刚体变换的影响,包含平移元素的介入,使得Jacobian体现为由多个块矩阵构成的复合体,反映不同部分的相互影响。 理论上,SO(3)求导更偏向于旋转张量或四元数在小扰动下的线性近似,而SE(3)求导则涉及刚体变换矩阵的各元素,对旋转部分的微分需要结合平移部分的Jacobian,且旋转部分的扰动会通过李群的乘法结构进一步放大或变形。 这种差异在SLAM实际应用中表现为,纯旋转的位姿更新在SO(3)模型下相对简洁,优化求解易于收敛。
而在SE(3)模型下,针对完整位姿的优化更为复杂,需要更加精细的标定与扰动分析。尤其是光流、视觉里程计等方法中,通过李代数微元进行位姿求导,能够更准确捕捉传感器尺寸、环境结构和运动模式的相互作用,提升优化精度。 此外,SE(3)旋转部分求导的复杂性推动了算法设计上的多种创新。研究者们借助李群理论发展了如左扰动模型、右扰动模型,以及联合扰动模型,来精确描述和线性化SE(3)空间的旋转微分,不断优化SLAM系统的求解效率和稳定性。利用群的结构特性,优化算法得以在保持几何连续性和物理合理性的同时,降低计算负担。 总结来看,SE(3)对旋转的求导与SO(3)的差别根植于两者代数和几何结构的根本不同。
SE(3)作为包含平移和旋转的刚体变换群,其求导过程必须考虑旋转与平移间的耦合和乘法非交换性。而单纯的SO(3)旋转群求导则相对独立,结构更简单。这一理论差异指导了SLAM定位与地图构建中位姿估计的算法设计,保证了结果的准确性与鲁棒性。掌握并应用这些核心原理,是从理论到实践进行高效SLAM系统开发的必经之路。 。
