二十世纪中叶,随着电子计算机从工程实验走向通用应用,如何用数学严密地描述计算过程成为一个迫切的问题。约翰·麦卡锡的论文《为计算的数学理论奠基》在1961到1963年间提出了极具前瞻性的观点,强调将计算视为数学对象来研究,不仅为理论计算机科学奠定了新的方向,也深刻影响了编程语言设计和人工智能的实践。 麦卡锡的工作可被理解为在图灵机、λ演算与递归函数理论等经典可计算性结果之外,补充一套更贴近编程实践的数学框架。传统的可计算性理论给出了机器可以计算哪些函数的抽象答案,但在如何用可读、可构造的语言来描述算法、如何把数据结构与控制结构纳入数学处理,以及如何把程序作为对象进行组合与变换等方面,还缺少一种便利的通用公式。麦卡锡提出的思路,是把"函数"与"表达式"的概念放在中心位置,允许用递归定义、条件表达式和抽象操作来直接描述可执行过程。 在理论基础层面,麦卡锡借鉴并融合了逻辑学中的观念,使得程序与数学函数之间的界限变得模糊但可控。
他强调用数学定义来刻画程序的语义,从而可以在数学上证明程序的性质、等价性与正确性。这种方法后来成为形式语义学和程序验证的核心思想之一。通过把计算定义为对符号表达式的转换与求值,麦卡锡为程序的组合性与模块化提供了乾净的数学表述,有利于抽象的分层和复用。 实践上,麦卡锡的理论直接推动了 Lisp 的诞生与发展。Lisp 的设计理念体现了"程序即数据、数据即程序"的思想,强调高阶函数、递归定义和符号处理能力。Lisp 的 eval 和 apply 等原语将解释机制形式化,使得编写能处理任意表达式的程序成为可能。
这种灵活性和表达力在人工智能早期研究中尤为关键,便于实现规则系统、自动推理与符号操作。即便是后来发展起来的多种函数式编程语言,诸如 ML、Haskell 等,也能在思想上追溯到麦卡锡将函数与表达式置于核心的取向。 从可计算性理论的角度看,麦卡锡并没有推翻图灵或 Church 的成果,而是补强了理论与实践之间的桥梁。图灵机在抽象层面揭示了算法的终极能力,λ演算提供了函数抽象的表达体系,而麦卡锡的贡献在于提出一套更加贴近程序员直觉的形式系统,使得程序的定义、执行与证明能够在同一数学框架内进行。这种框架强调可组合性,允许通过函数的组合和递归构造出复杂行为,同时保留数学可推理性。 麦卡锡思想的另一个重要方面是对条件控制结构与递归定义的强调。
在早期程序设计中,循环和分支是主要的控制手段,而麦卡锡将条件表达式作为基本构造,并鼓励通过递归来表达重复与迭代。这样的设计更利于数学推导与证明,也与后来的纯函数式编程思想相呼应。递归不仅是实现某些算法的自然方式,也便于用归纳法证明算法正确性,从而为程序验证提供了强有力的工具。 随着软件规模的增长,程序的可靠性与可维护性成为亟需解决的问题。麦卡锡关于将程序视为数学对象、用数学方法研究程序性质的主张,为形式化方法的出现提供了理论基础。形式语义学、程序证明器、自动定理证明技术等都在这一思想影响下发展起来。
通过给语言定义严格的语义,可以用证明器验证关键软件的正确性,这在安全关键系统、航天、医疗等领域具有重要意义。 麦卡锡的观点也影响了对高级抽象与元编程的理解。将表达式当作一等公民的思想使得程序可以生成程序、修改程序、解释程序,这正是元编程与反射的核心。现代编译器技术、宏系统和代码生成工具都能看到这种思想的影子。尤其在动态语言和解释型语言中,麦卡锡关于表达式求值与符号处理的理念发挥了直接作用。 在人工智能领域,麦卡锡的研究具有里程碑意义。
把知识表示为符号表达式并用数学规则进行推理,构成了早期专家系统和自动推理系统的基础。Lisp 作为早期 AI 研究的事实标准语言,其便捷的符号处理与高阶函数支持显著提高了原型构建与概念验证的效率。麦卡锡后续对知识表示、时间推理等问题的研究也与他早期构建的数学框架密切相关。 进入二十一世纪,函数式编程、类型理论与形式化验证迎来了新的热潮。该潮流中的许多核心理念可以追溯到麦卡锡的早期工作。类型系统的发展不仅提升了程序的安全性,也为编译时证明程序性质提供工具。
范畴论在某些语义研究中扮演的角色,尽管在形式上与麦卡锡的表述有差异,但目标是一致的:用数学工具捕捉计算的结构与行为。与此同时,可证明安全、高可靠性的需求使形式方法越来越重要,而这些方法的理论根基与麦卡锡强调的数学化计算研究密不可分。 尽管麦卡锡的贡献在学术界和工业界都得到广泛认可,但也有必要面对当时与当下的局限。麦卡锡的框架更强调符号计算与逻辑推理,在处理大规模数值计算、并行计算和现代机器学习中的统计学习方法时并不总是最自然的工具。现代软件系统的复杂性、分布式性质以及性能约束等问题,要求结合多种理论与工程实践手段。然而,将计算纳入严格数学框架的思想,依然为理解复杂系统提供了分析与验证的途径。
回看麦卡锡的工作,可以看到几个长期且深刻的遗产。第一个遗产是把计算作为一个既可实践又可理论化的对象来研究,促成了计算理论与程序设计之间的协同发展。第二个遗产是对高阶函数、递归与符号处理等编程范式的倡导,这些思想显著推动了 Lisp 及后续函数式语言的成长。第三个遗产是促进形式语义学和程序验证的发展,为现代软件工程中的可靠性研究提供理论支撑。 在今天,面对人工智能系统的大规模部署、软件安全与可信性问题的挑战,重温麦卡锡的观点具有现实意义。将编程语言、算法和系统行为纳入可证明的数学框架,不仅有助于提升系统的可靠性,也有助于增强人们对复杂智能系统行为的理解与控制。
尤其是在关键决策涉及到安全与伦理的场景中,能够用数学方法说明系统行为边界与保证条件,成为不可或缺的能力。 总之,约翰·麦卡锡在1961-1963年间提出的"为计算的数学理论奠基"的思想,不仅在学术层面丰富了对可计算性与语义的理解,也在工程层面推动了编程语言设计、人工智能研究与程序验证技术的发展。将计算视为可被数学化研究的对象,这一观念已经深刻融入现代计算机科学的核心,使得关于正确性、抽象与可证明性的研究成为推动技术进步的重要力量。对任何希望深入理解计算本质、构建可靠智能系统或设计新型编程语言的研究者与工程师来说,回顾并学习麦卡锡的理论遗产,仍然具有重要的启示价值。 。
