在人工智能快速演进的今天,人类研究者与机器学习系统之间的边界正在被不断重新定义。博格丹·格雷楚克(Bogdan Grechuk),国际数学奥林匹克金牌得主、英国莱斯特大学副教授,以研究数论、概率与优化见长。他的工作恰好位于纯数学最具挑战性的领域之一:丢番图方程(Diophantine equations) - - 那些看似简单却可能数百年无人可解的问题。格雷楚克的经验为我们揭示了人机协作在数学研究中的真实潜力与现实限制,也为人工智能在学术前沿承担更大角色提供了实践参考。 格雷楚克对丢番图方程的热情源于少年时代对难题的痴迷。像费马大定理这样的经典问题,表面陈述简短,却需要全新的方法与深刻的理论来解决。
在这样的研究过程中,重复性计算、搜索与例子测试往往耗费大量时间。正因如此,他尝试把人工智能引入研究流程:当人类研究者创造出新的方法后,将方法要点教给模型,让模型负责大量的尝试与检验,从而让研究者把精力集中在发明与改进方法上。 但现实并不总是理想。现有大型模型在纯数学任务上常常表现出"看起来很自信但可能错误"的行为。格雷楚克的观察非常直接:很多模型在面对深层结构性问题时会退回到程序员式的直觉,先尝试暴力搜索或编写穷举代码,然后再事后寻找模式,这种策略在面对高维数论或椭圆曲线等问题时效率极低且极易误导研究者。更重要的是,模型输出的"合理推理"往往缺乏可验证性,使得研究者不得不花大量时间去核验模型的每一步结论,从而抵消了原本想通过AI提升效率的初衷。
格雷楚克展示了一个能反映当前能力边界的实例。对于正整数 n,定义 f(n) 为满足方程 x^3 + x y^2 - y^2 z + n y z^2 = 0 在正整数 x,y 下存在解时最小的正整数 z;若不存在解,则 f(n)=0。他和团队对 n=1 到 6 的求和问题进行了测试。许多当下最先进的模型包括 GPT-5、Gemini 与 Claude 在初次尝试均未能正确解出该问题。模型普遍的失败不是因为算术能力不足,而在于没有采用数学家常用的结构性分析方法,而是直接进行穷举或仅停留在初步代数变形。 真正的突破发生在格雷楚克将正确解决问题的关键思路传授给模型之后。
该思路的核心是把原方程通过有理变换转为魏尔斯特拉斯(Weierstrass)型的椭圆曲线,在椭圆曲线的群结构下寻找非挠性点(non-torsion point)P,然后计算 kP(k 为整数),再通过逆变换将得到的有理点转回到原方程的整数解,从而找到最小的 z 值。格雷楚克将这套方法的步骤逐一提供给 GPT-5 后,模型能够按照提示完成关键计算并得出正确结果,而同样的提示对其他模型并未带来同样效果。这个实验说明了一个重要事实:现代模型在掌握正确方法论后往往能执行复杂的数学流程,但自动发现这些方法仍然是主要挑战。 这个案例暴露出的两个核心问题值得重视。其一是模型的搜索策略与推理优先级。大型语言模型在没有明确引导时倾向于优先生成容易实现且看起来合理的解决方案,例如暴力搜索或简单代数变形,而不是主动尝试更抽象的数学工具如椭圆曲线的群论性质。
其二是可验证性与工具整合的问题。数学领域有一整套严格的形式化证明工具(如 Coq、Lean 等),理论上可以用来验证证明每一步的正确性并消除"幻觉"。但当前模型在调用这些形式化证明助手、将自然语言数学描述转化为形式化脚本以及正确构建公理化证明链方面仍存在不足。要让人工智能真正成为可靠的研究伙伴,模型必须在生成能力之外,具备更强的工具链协同能力与自证能力。 对学术界与产业界而言,这些发现带来了明确的方向性建议。首先,提升模型对结构化数学思维的内在理解比单纯扩大训练语料更为关键。
训练数据中应加入更多经过形式化验证的推理步骤、证明范例,以及从实验中抽象出的数学方法论,而不是单纯堆砌定理与证明文本。其次,强化模型与形式化证明助手的联动能力至关重要。通过设计能把自然语言推理自动翻译为 Lean 或 Coq 脚本的桥接模块,可以显著提高输出的可验证性与可信度。再次,加强"教学式"交互范式:当研究者把新方法教给模型时,模型应能内化方法的核心思路并推广应用,而不仅是机械地复制操作步骤。这样的能力要求模型具备更强的元推理与抽象迁移能力。 在工程实践中,像 Surge AI 这样的平台正在搭建"顶尖人才网络",并与研究人员合作,让模型在高质量监督下学习领域特定的解题策略。
格雷楚克选择与 Surge 合作的原因并不在于把繁琐任务完全外包,而在于能够集中精力做"人类擅长"的创新工作,同时利用平台将方法化为可以训练的示例,让模型承担重复性测试与初步验证。从长期来看,这种人机协同的工作流可能成为高阶研究的常态:人类提出新颖的理论视角与构造,AI 快速探测可行性、寻找反例并生成候选证明,最后由人类与形式化工具共同完成严格验证。 除了技术挑战,伦理与学术责任问题也不容忽视。模型在科研场景下的错误输出如果被误用,可能导致错误结论的传播或不必要的资源浪费。在学术发表与同行评审中,若采用了AI生成的证明步骤,必须明确标注并提交可复现的检查脚本,使审稿人能够在形式化系统中重现关键证明。研究机构与期刊应制定明确的AI使用规范,要求对重要数学结论提供可验证的证明或公开工具链。
未来若要实现真正的"研究型AI",还需在几个方面取得进展。模型需要更强的抽象归纳能力,能在少量示例下概括方法的通则,并在新问题上主动提出实验策略。其次,需要高效的符号计算与代数工具整合,能够在自然语言层面与符号运算器无缝交互。再次,提升模型对数学对象(如椭圆曲线、模形式、群表示等)内部结构的语义化表征,将有助于模型在高层方法论上做出更接近人类数学家的决策。最后,构建开放、可验证的问题库,其中包含"刚好超出现有模型能力"的挑战题目,有助于持续推动模型在真正研究能力上的进化。 格雷楚克的经验也为教育与人才培养提出有趣启示。
在数学教学中,让学生学习如何把抽象方法传授给机器,反而可以加深学生对方法本质的理解。把 AI 作为"才智放大器"而非"替代者",可以培养学生的策略性思维:设计可被机器执行的步骤、验证边界条件并关注算法的复杂性与可靠性。对于企业与研究机构而言,建立跨学科团队 - - 由纯数学家、计算机科学家、形式化证明专家与工程师组成 - - 将成为加速前沿突破的有效模式。 回到人机边界的宏观视角,格雷楚克的案例既展现了当下人工智能的惊人成果,也提醒我们认清短板。AI 已经能在老师教导下完成许多复杂任务,甚至在某些标准化竞赛中取得优异成绩;但要达到能够独立提出新方法并可靠验证的"研究级"智能,仍需模型在方法发现、形式化验证与工具整合上实现质的飞跃。与此同时,人类研究者在洞察力、直觉与理论创造方面依然不可或缺。
最有前景的路径不是单向的替代,而是双向的增强:人类借助AI扩展可探索的空间,AI在严谨验证机制的加持下成为可信赖的协作者。 在未来的十年,人机协同将在多个层面重塑科研实践。科研工作可能从单一研究者的孤立探索,转向小型研究单元与AI系统并行工作的模式。数据集与问题库会更加注重可验证性与挑战性,推动模型从"能说会写"走向"能证能验"。对于社会而言,这既是科学生产力的跃升,也提出了对科研透明度与责任的更高要求。格雷楚克的实践提供了一条务实路径:把复杂数学方法分解成可教学、可验证的模块,让AI在受控的方式下承担重复性探索,从而把人类智慧释放到更具创造性的层面。
总而言之,博格丹·格雷楚克与人工智能合作的故事,是当代人机合作在学术前沿最生动的注脚之一。它提醒我们:技术的进步并非单点突破,而是人类智慧、工程设计与制度安排协同演化的结果。只要我们在训练数据、工具链、验证机制与伦理规范上持续投入,人机协同有望把更多看似不可逾越的数学难题纳入可解的范畴,开启科研生产力的新纪元。 。
