归一化求值（Normalization-by-Evaluation，简称NbE）作为一种计算归一形式的先进技术，近年来在类型理论和函数式编程领域备受关注。归一化是指将程序或数学表达式转换成规范形式，方便比较和推理。传统的归一方法通常依赖语法规则进行大量的替换和简化操作，而NbE则从语义角度出发，将语法项映射到语义域进行计算，再将计算结果映射回语法项，实现了更加简洁且高效的归一过程。归一化求值技术的核心包括两个重要步骤：首先是反射或者称作求值，即将语法项“解释”成语义对象；其次是报价或者再化，即将语义对象映射回语法形式。这种组合的操作被称为归一化，能够有效计算出表达式的规范形式。NbE技术在依赖类型语言和证明助理中尤为突出，其与双向类型检查相辅相成，极大地推动了依赖类型理论的实现和实际应用。
深入理解NbE，有助于设计更高效的编译器和验证工具，也为复杂类型系统的研究奠定基础。近年来，许多研究者和开发者围绕NbE展开了多方面探索，涌现出大量丰富的资源和工具，涵盖从入门教程到高级学术论文。针对不同层次的读者，各类资源系统整合了理论背景、示范代码和实际应用案例，助力学习者快速抓住NbE的核心思想。例如，Andras Kovacs的elaboration-zoo项目提供了依赖类型检查和展开的最小化实现，适合初学者理解类型理论的动手实践。Nguermond的normalization-by-evaluation仓库包含了多种NbE的实现方案，展示了不同技术路径的优劣和适用场景。对于更聚焦于Martin-Löf类型理论的研究，jozefg的nbe-for-mltt项目实现了完整的归一化过程，极具参考价值。
不同于通用的函数式语言，Effekt语言同样受益于NbE，其在lambda演算上的应用展示了NbE在实际编程语言设计中的灵活性和威力。此外，Idris2作为一门依赖类型语言，也有采用NbE作为计算机制的典型实现，细致的源码如Eval.idr和Quote.idr文件揭示了NbE的具体操作细节，方便开发者深入理解并改进语言特性。NbE相关的博客和教程同样丰富多样，可帮助读者快速入门及掌握技术要领。David Thrane Christiansen的教程以通俗易懂的语言介绍了依赖类型的归一化原理。William J. Bowman通过多角度重构NbE设计，为技术细节带来了新的启示。Oleg Kiselyov则用系列文章阐释了从语义学到操作语义的演变过程，剖析了不同归一技术的本质联系及差异。
经典学术论文为NbE奠定了坚实的理论基础。1991年Berger和Schwichtenberg提出了评价函数逆运算的构想，成为NbE理论的开山之作。随后，Danvy在1996年发表的“类型导向的部分求值”深入探讨了基于类型信息优化归一过程的策略。Coquand和Dybjer的工作则将NbE应用于直觉主义模型构造，推动了类型理论与模型理论的结合。进入新世纪，Altenkirch及其团队将NbE扩展到包含余积的类型论，提升了技术的表达能力。Filinski和Rohde则研究了无类型NbE的语义特性，拓宽了NbE的应用领域。
近年来，基于NbE的方法已经被应用于带有复杂类型特性的系统，如Martin-Löf类型论带单一宇宙的归一化，卫冕了理论的完整性和计算效率。各种现代研究也将NbE与代数效应、模态类型理论和高效的嵌入式领域专用语言（EDSL）实现相结合，展现了NbE在软件语言理论和实践中的活力与潜力。此外，研究者们不断优化NbE算法的性能，对于大规模归一及强调用需求通过抽象机和优化策略进一步提升效率，推动技术迈向工程应用阶段。归一化求值不仅是理论计算的重要工具，也深刻影响程序语言的实现方式。它在简化化简机制、提升编译器性能和支持复杂类型系统方面发挥着不可替代的作用。结合丰富的开源项目与学术成果，NbE领域实现了理论与实践的有机融合，为未来的计算机科学研究带来持续的创新动力。
对于希望深耕类型理论、程序语言设计或证明辅助系统的开发者和研究者而言，熟练掌握NbE并善用相关资源显然是提升专业水平的重要途径。随着社区的不断壮大，NbE相关讨论和项目也更加活跃，问题解答和技术分享日益丰富，形成了支持进阶学习和技术交流的良好氛围。总之，了解归一化求值不仅帮助理解程序归约、类型验证的本质，更引导我们探索计算表达能力的更深维度。通过整合现有优质资源，从基础知识到前沿研究，全方位掌握这门技术，将为读者未来的研究和开发创造巨大优势。
