科研论文的诞生往往藏匿着一段鲜为人知的探索历程,研究者们不仅追求结果本身,更经历着对领域的深入理解和自我思维体系的重构。以简洁证明这一密码学重要分支为例,Ligerito协议的开发过程充分展现了科研道路的曲折与乐趣。本文将带您深入探讨这一历程,从外部视角切入,探索研究者如何通过线性代数的方法突破技术壁垒,最终实现协议上的创新。 起初,简洁证明领域给外界的感觉是神秘而复杂的,相关论文往往篇幅长达五十页以上,数学符号与密码学术语让人望而却步。实际探究表明,尽管密码学是一大难点,但绝大多数构造的核心却往往依赖于线性代数结构及错误校正码,而密码学的运用多半作为黑盒存在,例如Fiat-Shamir变换、Merkle承诺等通用工具。这一发现促使作者与合作者开始尝试将简洁证明领域的技术框架用线性代数语言重新诠释,明确了各项概率界定与误差控制,使得整个研究工具箱得以简化统一,构建出一套更通俗易懂的表达体系。
这一系列工作的起点是2021年,当时研究者们观察到大部分简洁证明协议其实都基于向量空间及其随机线性组合的性质,类似于判定一组向量是否属于某个向量空间仅需检测其随机线性组合是否也属于空间。2022年后,随着领域进展加速,研究者系统性地整理并书写了基于线性代数和错误校正码的简洁证明框架,这为日后的创新奠定了坚实基础。尽管早期成果多为概念和工具的整理,收获了学界的认可与质疑,但研发团队并未止步,而是将其视为未来深入的宝贵资源。 2024年初,一项被称为零额外数据可用性(ZODA)的研究突破出现。该成果强调,对某些通用计算任务,构建正确性证明几乎没有额外开销,这对于现实应用来说极具吸引力。具体而言,计算张量编码本身与带附加证明的计算在工作量和大小上几乎无差异,这在简洁证明领域实属首次。
该研究引发了对于进一步缩减证明尺寸的浓厚兴趣,研发团队不断尝试多种技术方案以实现更高效的证明计算,确保其可以在现代笔记本电脑等常见设备上高效执行。 围绕张量编码的探索开始成为突破瓶颈的关键。在最初的尝试中,研究者试图通过局部测试来改进张量编码的证明尺寸。张量编码作为一种局部可解码编码,允许构造局部查询采样条目而非整行整列。然而,此方法导致在需要局部恢复数据时必须解码整个大区块,失去了ZODA协议中行列之间能单独解码的优势。此外,该建设在实践中成本接近ZODA原方案,且缺点明显,最终被放弃。
这一阶段的探索虽未直接带来成功,却为后续提出全新简洁证明协议提供了思路。 随后,研究聚焦于将ZODA方法推广至更一般的张量结构。2024年末,受到同行多方提问激发,团队发现可以将多维张量的核世界矩阵分解,通过一系列随机线性组合和一致性检查,将验证问题归约到对每个维度的代码进行验证。基于Kronocker积的巧妙处理,实现了从复杂张量编码向一维线性问题的转化。对应的优化模型被解析为一个凸优化问题,证明了最优证明尺寸的下界虽然优于多项式级别,却介于亚多项式与多对数之间。这一结果的数学美感令人欣喜,但其计算复杂度和证明大小在现实中仍存在提升空间。
2025年初,团队进一步揭示了简洁证明中的"张量化"特性,发现Reed-Solomon码的生成矩阵可以表达为多层张量积,这一性质允许将原本庞大的线性运算递归地拆分为更小规模的内积计算。该方法有助于验证者不用接收完整的海量向量,而是仅需处理一组小向量,从而显著减小通信负担。通过再次运用凸优化调整子矩阵尺寸,理论上可以将证明尺寸优化至对数平方级别。这一阶段成果令人激动,已优于当时的FRI协议,特别是在唯一解码环境下效率显著提升。然而,该方案因验证的查询不能批处理,仍存在改进空间。 最终,2025年三月,真正的突破来自于团队成员Andrija的灵光一现:实际上,验证者对代码的检查均可以转化为一系列内积的求解,而Sumcheck协议提供了对任意内积的高效验证方式,且支持查询的批处理。
这一创新融合了之前的邻近测试协议,使得不仅证明尺寸更小,且方案适用于任意代码,而不局限于传统的Reed-Solomon码。理论分析表明,最优证明大小下界可达到对数平方乘以对数对数的数量级,且该协议在唯一解码状态下超越同期的WHIR协议,带来性能和速度双重提升。团队为此付出了大量努力,不仅撰写了正式论文,还开发了Julia语言实现,特别针对有限域计算进行了硬件级优化,确保理论与实践的契合。 研究的后续发展也体现了学术界的"趋同进化"现象。同行研究者对WHIR协议的改进使其某些编码步骤得以简化,使该协议与Ligerito协议愈发相似,甚至在代码层面高度重合。尽管两者针对的场景和技术细节有所差异,彼此借鉴且共同推动了简洁证明技术的发展,彰显了学术交流的巨大价值。
通过回溯这段历程,我们能够更清晰地理解科研论文背后的复杂过程。研究者们往往从对领域的兴趣出发,主动与专家交流,为文献所困但不放弃,努力将已有技术用更简洁的抽象语言表述,并将其视作工具箱储备起来。新的实践问题不断激发创新灵感,促使他们去思考"这是否可以从以前的理解框架中获得全新视角",最终形成具有原创性的理论突破并付诸实现。经历过无数试错、思考、纯粹写作和沉淀,科研之路虽磕磕绊绊,却充满挑战与成就感。 如今,Ligerito协议不仅成为简洁证明领域的前沿成果,也展现了线性代数视角对密码学研究的深远影响。它让外界看到了将复杂密码学问题以更基础数学语言表达的可能性,揭示了从抽象理论到实际协议构建的完整链条。
科研者的这一探索故事,或许正是无数学者在科学探索道路上的缩影:永不满足于现状,始终努力寻求更简洁、更高效的表达方式与方案,同时乐于分享和交流,促进整个学科的繁荣与进步。 。
